La Matemática trata acerca de las operaciones consideradas en si mismas,
independientemente de los distintos objetos a los que puedan aplicarse.
Boole.
En este articulo se discute acerca de las dificultades que presentan los estudiantes de
los cursos de álgebra a nivel universitario, para comprender el proceso de demostración
en matemáticas. Una alternativa posible para remediar esto seria dar mas de una prueba
para una misma proposición. Esto amerita un esfuerzo mayor por parte de los docentes,
pero el proceso de aprendizaje se beneficia considerablemente, al disponer el estudiante
de información adicional sobre un tema.
Se analiza la matemática como un hecho comunicacional, en donde la claridad y la estética
en la presentación de los resultados, adquiere relevancia. Se da una panorámica de las
técnicas de demostración mas conocidas, mediante 12 pruebas de un ejemplo sencillo de
proposición sobre los números enteros. Cada demostración se puede interpretar como una
pequeña muestra del estilo de trabajo de los matemáticos en las distintas épocas.
Lo primero que hemos de saber antes de ponernos a demostrar es ¿Qué es una demostración?, una definición formal podría ser:
Una demostración es una secuencia finita de deducciones lógicas que empiezan con axiomas o con resultados previamente demostrados y llevan a una conclusión conocida como teorema o preposición.
Si queremos dar una definición algo más romántica podría ser;
Es una historia contada por matemáticos a matemáticos, expresada en un lenguaje común. Ésta tiene un principio (Las hipótesis) y un final (La conclusión) y se derrumba si hay lagunas lógicas.
Bien una vez que ya sabemos ya tenemos claro el concepto viene una segunda fase, ¿Que necesitamos para empezar a demostrar?, quizá responder a estas dos simples cuestiones ¿Cómo piensa un matemático? y ¿Cómo resolver problemas?.
Saber cómo piensa un matemático puede ayudarnos a entender mejor las demostraciones con las que nos encontramos. Esta es una primera herramienta para aprender a demostrar, aprender lo que otros matemáticos han hecho previamente en ese campo y como se ha ido formando un concepto y una técnica para resolverse ese tipo de problemas.
Hay un libro escrito por Jacqued Hadamar, “The Psychology of Invention in the Mathematical field”, donde se describe varias fases fundamentales en el pensamiento matemático. Estas son las siguientes:
La primera parte del pensamiento matemático empieza con vagas imágenes visuales y sólo más tarde se formalizan en símbolos. Se estima que el 90% de los matemáticos actúan de esta manera.
Se ha de trabajar de manera consciente durante un tiempo, tratando de entenderlo, explorar las formas de abordarlo, trabajando con ejemplos con la esperanza de encontrar algunos aspectos generales útiles.
Dejar que el subconsciente asimile y ordene las ideas, centrarse en otras tareas para que posteriormente todo cobre sentido y se encienda esa bombilla en la cabeza. Para finalmente se pueda presentar el descubrimiento como una deducción puramente racional a partir de premisas conocidas.
En la misma línea Poncaire, habla de tres estados a la hora de abordar un problema matemático: Preparación, incubación seguida de iluminación y finalmente la última etapa verificación.
